Equivalência Local de Espaços-tempos em (2+1) Dimensões(Local Equivalence of Spacetimes in (2+1) Dimensions)

Abstract

Neste trabalho o problema da equivalência de campos gravitacionais, no contexto das teorias da gravitação onde o espaço-tempo é uma variedade pseudo-Riemanniana com dimensão (2+1)D, isto é, a questão de decidir quando duas soluções exatas das equações de campo representam o mesmo campo gravitacional em sistemas de coordenadas diferentes, é abordado nos seus aspectos teóricos e práticos. A solução do problema é apresentada utilizando uma descrição do campo gravitacional que é invariante sob transformações de coordenadas. Expressões explı́citas para as dimensões do grupo de isometria de um espaço-tempo com (2+1)D e do seu subgrupo de isotropia são dadas. Um conjunto mı́nimo de quantidades invariantes que descrevem o campo gravitacional local é explicitamente obtido, utilizando o formalismo dos espinores reais com dois componentes. Um algoritmo para testar a equivalência na prática é desenvolvido, como um caso particular do algoritmo de Karlhede para espaços-tempos em (3+1)D, e as classificações de Segre do tensor de Ricci e do tensor de Cotton-York são determinadas. O algoritmo está implementado, até a derivada covariante da curvatura de primeira ordem, utilizando o pacote de computação algébrica GRtensorII do sistema de computação algébrica Maple, onde os cálculos são realizados de maneira interativa. Utilizando as técnicas do problema da equivalência para espaços-tempos com (2+1)D, as condições para a homogeneidade espaço-temporal de variedades espaços-tempos com (2+1)D e métrica tipo-Gödel são derivadas e comparadas com trabalhos anteriores sobre espaços-tempos com (3+1)D e métrica tipo-Gödel. A equivalência destes espaços-tempos é estudada e mostra-se que eles admitem um grupo de isometria com dimensão 4 e também que são caracterizados por dois parâmetros essenciais